FUNCIÓN LINEAL Y CUADRATICA

Función Lineal

Una función lineal es aquella cuya expresión algebraica es de la forma f(x) = mx, siendo m un número real diferente de 0.

Algunas características de la función lineal f(x) = mx son las siguientes:

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, es decir, por el punto (0, 0).

El valor de m se llama constante de proporcionalidad. Si m > 0, la función es creciente y si m < 0, la función es decreciente.

Su dominio y su rango coinciden con el conjunto ℝ.

Es una función continua, es decir, no presenta saltos ni interrupciones en todo su dominio.

Ejemplo 1

El ICE (Inter City Express) es un tren de alta velocidad que conecta todas las ciudades principales de Alemania. Tiene conexiones internacionales a Dinamarca, los Países Bajos, Bélgica, Francia, Suiza y Austria. Uno de sus trenes lleva una velocidad media de 270 km/h. En la Tabla 2 se muestra la distancia D que recorre en función del tiempo t.

Imagen 2 Ejemplo1.

 Tabla 2

 Fuente: (MINISTERIO, 2016)

Esta situación puede modelarse por medio de la función D(t) = 270t, cuya gráfica es una línea recta que pasa por (0, 0), como se observa en la Figura 2.

En este caso, la constante de proporcionalidad es 270.

Imagen 3. Línea recta

Figura 2

Fuente: (MINISTERIO, 2016)

Función Afín

Una función afín es aquella cuya expresión algebraica es de la forma f(x) = mx + b, siendo m y b números reales distintos de 0.

Las principales características de la función afín f(x) = mx + b son:

Su gráfica es una línea recta que pasa por el punto (0, b). Este se denomina punto de corte con el eje de ordenadas.

El número m se llama constante de proporcionalidad. Si m  > 0, la función es creciente y si m < 0, la función es decreciente.

Su dominio y su rango coinciden con el conjunto ℝ.

Es una función continua.

Gráfica de una función afín

La gráfica de la función afín f(x) = mx + b se obtiene al desplazar verticalmente (b unidades) la gráfica de la función f(x) = mx.

En la Figura 3, se observa que:

Si b > 0, el desplazamiento es hacia arriba.

Si b < 0, el desplazamiento es hacia abajo.

Imagen 4. Función afín. 

Figura 3

Fuente: (MINISTERIO, 2016)

Ejemplo 2

En la Tabla 3, se muestran los valores asociados a la función afín f(x) = 3x - 5.

Imagen 5. Valores asociadoS

Tabla 3

Fuente: (MINISTERIO, 2016)

Al representar estos datos, se obtiene la gráfica de la Figura 4. Si se compara con la gráfica de la función lineal g(x) = 3x, se verifica que f(x) es una traslación de g(x) cinco unidades hacia abajo.

Imagen 6. Función lineal.

Figura 4

Fuente: (MINISTERIO, 2016)

Función Cuadrática

Es una parábola, algunas de estas parábolas suelen cortar el eje de las x en dos puntos. Esos valores son raíces o ceros del polinomio.

En la Tabla 1 se muestra la altura del salto de la rana en cinco momentos distintos.

Imagen 7. Alturas distintas

Tablas 1

Fuente: (MINISTERIO, 2016)

Según los datos, la rana está en el piso cuando t = 0 y t = 2, pues su altura es 0 en ambos instantes. Es decir, h(0) = 0 y h(2) = 0.

El instante t = 0 corresponde al momento de iniciar el salto, y el instante t = 2 corresponderá al instante en que la rana vuelve al piso después de haber saltado.

Esto significa que el salto tardó 2 segundos.

Por otra parte, la máxima altura que alcanza la rana corresponde al mayor valor de h(t) registrado en la tabla. Este es 1, por lo cual se deduce que la mayor altura que alcanza la rana en este salto es de 1 m (Figura1).

Imagen 8. Representación de altura.

Figura 1

Fuente: (MINISTERIO, 2016)

Muchas situaciones son modeladas mediante funciones que involucran el cuadrado de una variable. Este tipo de funciones se denominan funciones cuadráticas.

Una función cuadrática es de la forma f(x) + bx + c donde a, b y c son números reales y a  0.

Representación gráfica de una función cuadrática

La representación gráfica de la función cuadrática f(x) + bx + c es una parábola que se caracteriza por tener los siguientes elementos.

Vértice (V): punto donde la parábola alcanza su punto máximo, si a 0, o su Punto mínimo, si a . 0.

Cortes de la parábola con los ejes coordenados (ceros de la función): puntos donde el valor de la función es 0. Las coordenadas de los puntos de corte con el eje X son de la forma (x, 0). En estos casos, el valor de x se halla resolviendo la ecuación + bx + c = 0.

Eje de simetría: recta paralela al eje Y, que pasa por la coordenada x del vértice.

Concavidad: una parábola es cóncava hacia arriba si a  0 o es cóncava hacia abajo si a  0.

Comunicación

1 Representa gráficamente la función f(x) - 2

Solución:

Para comenzar, se puede completar una tabla de valores como la Tabla 2, asignando valores arbitrarios a la variable x. Luego, se representan en el plano cartesiano.

Imagen 9. Representación gráfica de la curva.

Figura 1

Fuente: (MINISTERIO, 2016).

Como la función está definida para cualquier valor real, al trazar la curva se obtiene la Figura 1.